Praktische Lehren aus mathematischen Erkenntnissen

Gödelscher Unvollständigkeitssatz

Gödel ist einer der grossen Mathematiker des letzten Jahrhunderts. Er arbeitete unter anderem an den Grundlagen der Mathematik. Ihn interessierte, ob die Mathematik vollständig ist. Um diese Aussage zu verstehen, muss ich kurz den Begriff des Axioms erklären.

Ein Axiom ist eine Annahme in einem mathematischen System, die nicht bewiesen wird. Die Mathematik ist nicht fähig zu existieren ohne diese Annahmen. Ein mögliches Axiom, das im Volksmund bekannt ist, ist 1 + 1 = 2. Es scheint unmöglich, das zu beweisen. Doch Sie mögen dazu verleitet sein zu behaupten: «Das benötigt keinen Beweis» und wenn sie das sagen, haben sie die Idee hinter den Axiomen verstanden. Als Axiom möchte, man immer Aussagen wählen, denen jeder Mensch zustimmen kann. Die so offensichtlich sind, dass sie kaum zu bestreiten sind. Doch in der Wissenschaft der Mathematik ist man sich genau bewusst, welche Annahmen man trifft. Man sagt nicht einfach: «Alles, was offensichtlich ist, nehmen wir als wahr an.» Denn was für Sie als einleuchtend ist, ist es vielleicht nicht für den anderen. Daher schreiben Mathematiker ihre Axiome auf und sagen: «Ich betreibe Mathematik unter folgenden Annahmen.» Dann kann ein Kollege hingehen und überprüfen, ob seine Arbeit korrekt ist unter den Annahmen.

Ein Beispiel von solchen Annahmen:

A: 0 ist eine Zahl
B: 1 ist eine Zahl
C: Falls x eine Zahl ist, dann gilt: x + 0 = x
D: Falls x eine Zahl ist, dann ist x + 1 auch eine Zahl
E: x+1 > x

Mathematiker würden sagen, das sei formell nicht sauber geschrieben, aber für meine Zwecke ist es ausreichend. Hier sehen Sie, wie banal solche Aussagen sind. Mit diesen Aussagen können wir bereits die Aussage: «Es gibt keine grösste Zahl.» beweisen, was eine umwerfende Erkenntnis für Kinder ist. Und wir sollten diese Faszination nicht einfach herunterspielen.

Wir beweisen es hier mit einem Widerspruchsbeweis:

Nehmen wir an, es gäbe eine grösste Zahl. Nennen wir sie y. Ist sie eine Zahl, folgt aus ‚D‘, das y+1 auch eine Zahl ist. Nennen wir sie z. Und aus ‚E‘ folgt, dass z grösser ist als y. Was unsere Annahme, y sei die grösste Zahl, widerlegt. Daraus folgt, dass es keine grösste Zahl gibt.

Dies alles klingt, wie eine Menge Sorgen, die sie Mathematiker machen, um ein Problem zu lösen, das nicht existiert. Und genau so dachte der Grossteil der Mathematiker zu Beginn des 20. Jahrhunderts. Und genau hier kommt Gödels Unvollständigkeitssatz rein. Der Beweisidee ist zwar nicht schwierig, sprengt hier dennoch doch den Rahmen. Wenn das doch gewünscht ist, gerne einfach einen Kommentar hinterlassen. Die Aussage ist folgende: Egal wie viele und welche Annahmen du triffst, es wird immer wahre Aussagen geben, die du mit deinen Annahmen nicht beweisen kannst. Daraus folgt, die Mathematik ist unvollständig. Sie kann sich selbst nie vollständig beschreiben. Egal, wie viele Annahmen Sie treffen, seien es auch fünf Milliarden, Sie werden nie in der Lage sein, alle korrekten mathematischen Aussagen zu beweisen.

Was bedeutet das?

Die Hoffnung bestand früher, dass wir nur genug forschen müssen und schlauer werden, um alles zu erforschen. Doch der Unvollständigkeitssatz zeigt, dass wir mit formalem Denken eingeschränkt sind und nicht alles beweisen können. Für mich folgt daraus, dass egal, was unser formales Denksystem ist, wird es immer Dinge geben, die uns nicht zugängig bleiben. Ganz praktisch benötigen wir vielleicht einen Umgang mit unbeweisbaren Aussagen. Aber wir dürfen uns auch nicht dazu hinreissen lassen, überall zu behaupten, es sei unbeweisbar, obwohl es das wäre. Die Aussage, etwas sei unbeweisbar, ist wiederum eine vielleicht beweisbare mathematische Aussage.

Was ich alles nicht gesagt habe: Das bedeutet nicht, dass man nichts beweisen kann. Mathematisch bewiesene Dinge sind von einer Sicherheit und Stabilität, von der wir im praktischen Alltag kaum etwas wissen. Ich sage Ihnen: Ich bin mir sicherer, dass es keine grösste Primzahl gibt, als dass ich einen Vater und eine Mutter habe. Die Wahrscheinlichkeit, dass ich künstlich hergestellt in einem geheimen Labor, ist zwar winzig, aber dennoch lediglich null Komma null null was auch immer. Doch die Sicherheit einer mathematischen Aussage ist 100 %. Daran gibt es nichts zu rütteln. (Psychologische Aspekte ignoriere ich hier mal).

Komplexitätstheorie

Als studierter Informatiker begegnete ich fortlaufend Analysen über die Komplexität von Algorithmen. Algorithmus ist hochgestochenes Wort für etwas Einfaches. Ein Algorithmus ist einfach ein Ablauf. So gibt es einen Ablauf, um den kürzesten Weg von A nach B zu finden. Man kann dann evaluieren, wie viel Zeit dieser Ablauf benötigt im Durchschnitt oder im schlimmsten oder besten Fall. Bei der Komplexitätstheorie geht es nur um solche Analysen. Welcher Ablauf ist schneller? Kann man ihn noch optimieren? Bevor ich ins Informatikstudium gestartet bin, war ich der Meinung man sollte einfach den Code richtig schreiben, dann wäre alles schneller. Leider war das zu naiv und es gibt Abläufe, die nicht schnell sind, auch wenn sie optimal umgesetzt werden. Es gibt Abläufe wie den für den schnellsten Weg zu finden oder eine Liste zu sortieren, die schnell sind. Andere jedoch sind sehr schwierig. So ist die Routenplanung viel aufwendiger. Will man eine Route durch das Land planen, bei der man an verschiedenen Orten vorbeikommt, jedoch die Reihenfolge egal ist, so ist das exponentiell langsam. Wir haben keinen Ablauf dafür. Und es gibt Menschen, die genau das als Beruf machen. Sogenannte Disponenten. Doch auch sie machen das nur so ungefähr. Ihnen ist es egal, ob die Route 10 % oder 20 % langsamer ist als das Optimum. Bei anderen Problemen ist es hingegen schwieriger. Schach beispielsweise. Wir haben einen Ablauf um perfekt Schach zu spielen, leider ist er so ineffizient, dass er nie fertig wird. Und mit nie meine ich NIE. Dieser optimale Algorithmus würde auch auf den weltweit grössten Supercomputern Quadrillionen von Jahren benötigen (was noch immer ein Untertreibung ist).

Was bedeutet das?

Nach dem Unvollständigkeitssatz kommt jetzt das noch. Dies sind Probleme, die lösbar sind. Es gibt Probleme, die haben eine Lösung. Wir wissen, wie wir sie finden können. Wir wissen sogar, dass dieser Weg der optimale ist und es keinen besseren gibt. Und trotzdem sind sie so langsam, dass sie aus rein praktischer Sicht als unlösbar angesehen werden müssen.

War die Folge vom Unvollständigkeitssatz noch eher abstrakt, so ist sie das hier weniger. Es gibt eine ganze Liste von solchen praktisch unlösbaren Problemen. (Stichwort: NP-Vollständig, EXP-Time). Wären diese Probleme lösbar, sähe unsere moderne Welt anders aus und wir hätten Medikamente gefunden, Verkehr vereinfacht, aber auch Verschlüsselung gehackt. Und es ist nicht so, dass diese Probleme für einen Menschen lösbar sind. Hätte ein Mensch ein Verfahren, so wäre dies genau solch ein Algorithmus. Die Probleme sind für die künstliche Intelligenz und für Menschen unlösbar.

Halteproblem

Spätestens jetzt ist klar, dass ich ein Informatiker bin. Das Halteproblem ist ein Problem, von dem noch niemand gehört hat, der nicht das studiert hat. Doch die Welt würde wie so oft gänzlich anders aussehen, wäre das Problem lösbar. Doch das ist sie nicht. Künstliche Intelligenz wäre wesentlich einfacher zu bauen. Wir bräuchten kaum noch Ingenieure, Dinge zuberechnen. Unsere Schulbildung müsste sich anpassen. Und mit einer wahrhaft intelligenten Maschine wäre das wohl das kleinste Problem.

Was ist also das Halteproblem? Beschrieben ist es einfach. Es geht wieder um Abläufe oder Algorithmen. Und zwar fragen wir uns jetzt, wenn wir einen Algorithmus sehen: Hält der? Oder geht der weiter bis in die Unendlichkeit? Die erste Intuition darauf ist bei vielen, so auch bei mir: «Du musst einfach schauen, was genau passiert beim Ablauf. Ob der eine Schleife macht und dann wirst du es schon sehen.» Doch leider gibt es viele Algorithmen, bei denen es nicht klar ist, ob sie halten.

Was bedeutet das?

Zuvor hatten wir praktisch unlösbare Probleme und jetzt kommt ein verrücktes Phänomen dazu. Denn ein Algorithmus ist eindeutig. Entweder er hält oder er hält nicht. Da gibt es kein Dazwischen. Also mathematisch gesehen hat die Frage eine eindeutige Antwort, doch es gibt keinen Prozess sie zu finden.

Chaostheorie

Eine weitere und letzte Einschränkung unserer Möglichkeiten. Nebst Problemen, die zu viel Zeit benötigen sie zu lösen und unlösbaren Problemen gibt es noch einen weiteren ungebetenen Gast im Treffen der Unannehmlichkeiten. Das Chaos. Und während der Begriff in unterschiedlichsten Kontexten seine Bedeutung hat, so meine ich hier nur eine, die mathematische. Chaos in dem Zusammenhang ist die Eigenschaft von einem System sich in unterschiedlichste Richtungen zu entwickeln, abhängig vom Anfangszustand.

Chaos visualisiert mittels Doppelpendel

Es ist unmöglich, vorauszusagen, wo das Pendel nach 100 Sekunden ist, obwohl es durch die Naturgesetze klar definiert ist. Viele äusserst relevante Systeme in unsere Welt verhalten sich in diesem Sinne chaotisch. Wir können nicht sagen, wie das Wetter in zwei Wochen ist, wo sie Asteroiden in ein paar Jahren befinden, wo Billardkugeln halten, wenn zu viele gleichzeitig angestossen werden und noch viel mehr. In der Medizin gibt es auch einige chaotische Systeme.

Was bedeutet das?

Es gibt folglich noch ein Problem. Doch dieses ist praktisch so relevant, dass es nicht nur unsere abstrakten Grundlagen unseres Verständnisses des Universums verändert, sondern auch ganz praktisch problematisch ist. So behaupten Menschen (meist nicht Wissenschaftler), die Welt bestehe nur aus vier Naturgesetzen bestehe. Alles andere leite sich daraus ab. Und an dieser oft wiederholten Lüge ist einiges falsch. Erstens kann unsere aktuelle Physik die Welt nicht beschreiben. Es gibt Dinge, die unseren Messungen widersprechen. Man versucht es oft wegzudiskutieren, aber sie bleiben. Die Naturgesetze der grossen Dinge sind nicht vereinbar mit den der kleinen. (Das zu erläutern, lasse ich hier weg). Hinzu kommt aber noch etwas: Selbst wenn wir eine Theorie haben, die mit der Beobachtung übereinstimmt, so bliebe das Problem des Chaos. Um von kleinen Systemen auf grosse zu schliessen, muss man das Chaos kontrollieren. Und das funktioniert vielleicht, wenn wir alle Parameter in unserer Hand haben, aber in der realen relevanten Welt ist dies nicht möglich. Wir befinden uns also als makroskopische Wesen in einer Welt, in der wir Theorien entwickeln müssen, die gut genug, aber eigentlich nicht korrekt sind.

Das Chaos verlangt von uns, Abstraktionen zu entwickeln, die keine direkte Verbindung zu den physikalischen Gesetzen haben. Die Physik wird nie die Chemie ablösen. Und wenn doch, dann sicher nicht die Mikrobiologie. Dort sind die Prozesse schon so komplex, dass das Chaos überhandnimmt. Und die Fächer Biologie, Psychologie, Soziologie, Geschichte, Religion und so weiter sind ohnehin unerreichbar für uns aus Sicht der Grundgesetze.

Wir müssen uns folglich abfinden, statistische und auch fehlerhafte Theorien zu entwickeln, die uns praktisch helfen, Dinge zu verstehen. Auch wenn sie zu viel weg abstrahieren. Und das Enttäuschende an dem ist: Es gäbe eine korrekte gute Lösung für die Fragen, die wir uns stellen, aber sie sind aus Gründen der Chaostheorie und auch wegen Komplexitätstheorie unerreichbar. Die Wissenschaft hat sich selbst Grenzen gesetzt. Dies bedeutet aber nicht, dass statistische Theorien ungültig sind, sondern nur, dass es bessere gäbe, die uns aber unzugänglich sind und bleiben.

Optimierung der Gradienten

Das waren jetzt alles grosse Einschränkungen. Was kann man noch tun? Sind wir nicht fundamental beschränkt und unsere Versuche, die Welt zu verstehen, von Anfang an zum Scheitern verurteilt? Nicht ganz. Denn anstatt eine universale Theorie zu haben, können wir eine universale Methode entwickeln. Anstatt die Welt zu beschreiben, können wir sie in unser Schema drücken und es bei Bedarf anpassen.

Diese Anpassungen wurden im Bereich des maschinellen Lernens genaustens studiert. Dort entwickelt man einen Roboter, der kaum etwas versteht. Er nimmt nur die Umgebung wahr, weiss aber nicht um die Naturgesetze um ihn herum. Und schon gar nicht um die grösseren Gesetze, wie Materialwissenschaften und so weiter. Wir geben dem Roboter aber einen Input, der besagt, wie gut er es gerade macht. Und der Roboter versucht nicht zu verstehen: Wie kann ich es am besten machen, sondern nur, wie kann ich es besser machen. Anstatt alles verstehen wollen, nimmt es alles, was es früher gelernt hat, als wahr an und versucht kleine Anpassungen zu machen, um sein Verständnis an die Realität anzugleichen.

Im Bild gesprochen, versucht der Roboter einen Berg zu erklimmen, sieht jedoch nur einen Meter weit. Und anstatt sich hinzusetzen und sage: «Ich sehe den Gipfel nicht, also kann ich auch keine Route planen.» Geht er einfach einen Schritt aufwärts. Und dann wieder. Später ist er an einem Punkt, an dem alle Schritte abwärts gehen und dann sagt er: «Ich bin da.» Und vielleicht ist er nicht auf den Mount Everest gestiegen, sondern nur auf den Berg um die Ecke, aber er ist ziemlich weit hochgegangen.

Was bedeutet das?

Diese Vorgehensweise belebt den Gelähmten und wir können unsere Reise fortsetzen. Und diese Methode ist nicht nur auf die Zukunft der Wissenschaft anzuwenden, sondern auch im Alltag nützlich. Anstatt zu versuchen, das Problem, vor dem man steht, zu beheben, kann man einen Schritt machen. Anstatt die Ehe zu retten, ein Kompliment machen. Anstatt die Firma umzugestalten, einen Kunden freundlich grüssen. Anstatt Krebs zu besiegen, diese eine Tablette zu schlucken. Es befreit uns vor der Verantwortung, für alles einen Plan zu haben. Denn der existiert ohnehin nicht. Hier ist der einzige Plan: «Mach etwas Kleines, Gutes, von dem du weisst, dass es hilft.»

Spieltheorie

Ach ja, die Spieltheorie. Ein Stiefkind der Soziologie. Sie wird nur kritisiert als unwissenschaftlich. Sie stelle Modelle zusammen, die nichts mit der Realität zu tun haben. Als wären sie die Einzigen. Aber das stimmt vielleicht, aber trotzdem sind die Einsichten interessant. Die Spieltheorie versucht menschliche Interaktionen, als Spiel darzustellen. Und analysiert dann, was das optimale rationale Verhalten ist.

Wie immer ist ein Beispiel anschaulicher als jede Einführung. Besprechen wir die Allmendeproblematik. Eine Allmende ist eine Wiese, auf der die Bauern des Dorfes ihre Kühe weiden lassen können. Sie gehört dem Dorf und keinem Bauern allein. Das Problem ist, die Bauern haben immer mehr Kühe, die Allmende wird jedoch nicht grösser. Nun fragt sich die Gemeinschaft, wie viele Kühe sie zulassen sollen. Sie diskutieren hin und her und einigen sich auf gar nichts. Sie sagen, jeder macht, was er will. Die Bauern werden schon nicht so viele Kühe senden, dass die Weide kaputtgeht, dann hätten sie selbst nichts davon. Doch diese Annahme war zu optimistisch. Denn ab einer gewissen Menge von Kühen entstand ein interessantes Phänomen: Die gesamte Menge an Nährstoffe für die Kühe nahm ab, weil die Allmende aufgefressen wird. Aber es kommt ein neuer Bauer dazu, der hat nur eine Kuh. Und obwohl die Allmende kaputtgeht, so hat seine Kuh immer noch mehr davon auf die fast kaputte Allmende zu gehen als nicht. Wenn also die Bauern für sich denken, dann ist es immer wirtschaftlich gesehen, rational noch eine Kuh zu senden, denn sie kommen mehr zurück, als wenn sie das nicht täten, aber darum geht die Allmende kaputt.

Dieses Gedankenexperiment veranschaulicht die Spieltheorie eindrücklich. Sie stellt eine Situation dar und gibt die Regeln vor. Dann werden unterschiedliche Dinge analysiert: Welches Verhalten ist für einen rationalen wirtschaftlichen Akteur angebracht? Welche Regeln könnte man einführen, um als rationale wirtschaftliche Gemeinschaft zu profitieren? Und so weiter. Die Spieltheorie wird gerne belächelt, weil ihre Analysen nicht mit der Realität übereinstimmen und Menschen nicht rational handeln. Aber diese Kritik ist zu oberflächlich. Wir können anschliessen, unser Model mit anderen Ideen anreichern. Ideen wie Reziprozität oder so. Aber wenn wir ein System haben, in dem egoistische Akteure ohne Gewaltandrohung ein System vorwärtsbringen, dann ist das mal eine Aussage. Wenn ein politisches System spieltheoretisch stabil wäre, wäre es höchst wahrscheinlich auch wirklich stabil.

Was bedeutet das?

Nebst dem offensichtlichen, also dem direkten Ergebnis unterschiedlicher Analysen bringt die Spieltheorie eine gesunde Denkweise auf den Tisch. Nämlich die des Egoismus. Er wird gerne als unethisch angesehen, doch die Spieltheorie ist das erfreulich neutral. Gut ist, was mir etwas nützt. Sagt sie. Und es war für mich sehr gesund zu bemerken, dass die Welt der Egoisten ernst genommen werden muss, um die Realität verstehen zu können. Auch relativiert die Spieltheorie etwas den Wert der Moral und Ethik. Denn was ist es wert gut zu handeln, wenn man nur immer der schwächere Akteur ist? Unser Handeln muss mächtig und stark genug sein, sich durchzusetzen. Und wie die Gradienten Optimierung sagt, schrumpft auch die Spieltheorie den Horizont. Anstatt die Welt zu retten, geht es darum, lokal und temporal beschränkt, die richtige Entscheidung zu treffen.